Eigenfrequentie

Tik tegen een steigerpijp en je hoort een specifieke toon; dat is de eigenfrequentie in de praktijk. In de utiliteitsbouw en civiele techniek is dit getal allesbepalend voor de dynamische stabiliteit van een object. Het is de optelsom van massa, geometrie en materiaalstijfheid die bepaalt wanneer een constructie gaat 'zingen' of, in het ergste geval, zichzelf kapot trilt. We ontwerpen constructies vaak zo dat hun eigenfrequentie ver buiten het bereik van te verwachten belastingen ligt. Denk aan een fitnessruimte op een verdiepingsvloer: als de springende sporters toevallig hetzelfde ritme aanhouden als de eigenfrequentie van de vloer, wordt het comfortniveau onacceptabel. Massa en stijfheid vormen hier de balans. Meer massa verlaagt de frequentie. Meer stijfheid jaagt de frequentie omhoog. Het is een constant schaakspel tijdens de ontwerpfase.

De vaststelling van de eigenfrequentie geschiedt doorgaans via een samenspel van theoretische modellering en empirische verificatie. In de ontwerpfase maken constructeurs gebruik van de Eindige Elementen Methode (EEM). Hierbij worden de geometrie, de elasticiteitsmodulus van de materialen en de massaverdeling vertaald naar een wiskundig model. Modale analyse is de standaard. Het softwaremodel berekent de verschillende eigenfrequenties en de bijbehorende eigenvormen door de stijfheidsmatrix tegen de massamatrix weg te strepen.

Meten is weten. Bij opgeleverde constructies of bij twijfel over de dynamische respons vindt vaak een fysieke trillingsmeting plaats. Men brengt sensoren aan. Versnellingsopnemers op strategische locaties. Een excitatiebron brengt de structuur vervolgens kortstondig in beweging. Dit gebeurt vaak met een impulshamer, die een breedbandige krachtpuls afgeeft, of via een zogenoemde 'shaker' die een gecontroleerd frequentiebereik afloopt. Het resulterende tijdsignaal van de trillingen wordt geregistreerd. Via een Fast Fourier Transform (FFT) zet men dit tijdsignaal om naar het frequentiedomein. Pieken in het spectrum. Die pieken verraden exact waar de eigenfrequenties liggen. Wijkt de meting af van het model? Dan worden de randvoorwaarden of de materiaaleigenschappen in de berekening bijgesteld tot de theorie en de praktijk elkaar weer vinden.

Een constructie heeft nooit slechts één eigenfrequentie. Er is sprake van een oneindige reeks. De laagste waarde noemen we de grondfrequentie of de eerste eigenfrequentie. Dit is de meest fundamentele trillingsvorm die met de minste energie geactiveerd kan worden. In de meeste bouwtechnische ontwerpen is dit de kritische waarde waar de constructeur op stuurt.

• Eerste eigenfrequentie: De basisvorm, vaak een eenvoudige doorbuiging.
• Hogere modi: Ook wel harmonischen of boventonen genoemd. Deze treden op bij hogere frequenties en tonen complexere vervormingspatronen met meerdere knooppunten waar de constructie stilstaat.

Bij complexe gebouwen kunnen hogere modi relevant worden wanneer specifieke machines of installaties exact die hogere frequenties aanstoten. Een machine op 50 Hz zal de grondfrequentie van 2 Hz van een vloer niet direct gevaarlijk belasten, maar een harmonische die toevallig ook rond die 50 Hz ligt wel.

De eigenfrequentie is onlosmakelijk verbonden met de bewegingsrichting. We onderscheiden verschillende typen op basis van de mechanica van de vervorming. Buiging is de bekendste. De ligger gaat op en neer. Bij slanke constructies zoals bruggen of hoge torens is de torsie-eigenfrequentie echter minstens zo belangrijk. Hierbij tordeert de constructie om haar lengteas.

Dan zijn er de axiale of longitudinale trillingen. De constructie rekt uit en krimpt in. In de utiliteitsbouw zijn deze frequenties meestal extreem hoog door de grote axiale stijfheid van kolommen en wanden. Ze vormen zelden een risico. Bij hele lange, slanke trekstangen in kapconstructies kunnen ze echter wel degelijk een rol spelen. Men spreekt ook wel over lokale versus globale eigenfrequenties. Een individuele staalplaat in een brugdek kan lokaal gaan zingen (lokale modus), terwijl de brug als geheel stabiel blijft (globale modus).

In theoretische berekeningen wordt vaak uitgegaan van de ongedempte eigenfrequentie. De pure natuurkunde. De praktijk is weerbarstiger. Elke constructie heeft demping. Materiaalwrijving, luchtweerstand of wrijving in de verbindingen. Dit resulteert in de gedempte eigenfrequentie.

Hoewel het verschil tussen beide waarden bij traditionele beton- en staalbouw vaak klein genoeg is om te negeren, wordt het onderscheid cruciaal bij lichte constructies. Denk aan houten vloeren of trappen van composiet. Hier zorgt de demping voor een lichte verschuiving van de frequentie. Verwar de eigenfrequentie overigens niet met de 'resonantiefrequentie'. Hoewel ze in de bouw vaak als synoniemen worden gebruikt, is de resonantiefrequentie de frequentie waarbij de amplitude van de trilling maximaal is onder invloed van een externe kracht; deze ligt bij gedempte systemen net iets lager dan de ongedempte eigenfrequentie.

Stel je een slanke wenteltrap voor in een modern kantoorpand. Iemand loopt gehaast naar boven. De trap begint ritmisch te veren onder de voeten. Dat is geen toeval. De frequentie van de voetstappen valt op dat moment exact samen met de laagste eigenfrequentie van de staalconstructie. De trap 'herkent' het ritme en reageert met maximale uitslag.

In de utiliteitsbouw kom je het fenomeen vaak tegen in technische ruimtes. Een grote luchtbehandelingskast start op. Terwijl de ventilator optoert, trilt de vloer op één specifiek moment heel heftig, om daarna bij een hoger toerental weer volledig rustig te worden. De machine passeerde op dat moment de eigenfrequentie van het vloerveld. Een kritiek punt waar de constructie even 'meezingt'.

• Tribunes: Supporters die synchroon springen. Als hun tempo (bijvoorbeeld 2,5 Hz) de eigenfrequentie van de betonliggers raakt, ontstaat er een opslingering die voor paniek kan zorgen, ook al is de constructie sterk genoeg.
• Dunne wanden: Een glazen scheidingswand die begint te rammelen wanneer een zware vrachtwagen buiten stationair draait. De lage brom van de motor activeert de lokale eigenfrequentie van het glas.
• Leidingwerk: Een pomp die trillingen doorgeeft aan een dunwandige rvs-buis. Zonder goede beugeling kan de buis precies op zijn eigenfrequentie worden aangestoten, wat leidt tot metaalmoeheid bij de lassen.

Kijk naar een uitkragend balkon. Geef er een stevige duw tegen of spring één keer op de rand. Het balkon deinst na. De snelheid waarmee dit gebeurt — de herhaling per seconde — is de eigenfrequentie. Hoe stijver de constructie, hoe sneller dit natrillen voorbij is en hoe hoger de toon. Een slap, lang balkon zal langzaam en diep natrillen; een lage eigenfrequentie die vaak als onveilig wordt ervaren door bewoners.

Wetgeving rondom eigenfrequentie is vaak indirect verankerd in de eisen voor de bruikbaarheidsgrenstoestand. Het Besluit bouwwerken leefomgeving (BBL) stelt de algemene kaders voor de veiligheid en gezondheid, maar de technische uitwerking ligt bij de Eurocodes. NEN-EN 1990 vormt hierbij de basis. Deze norm vereist dat een constructie niet alleen sterk genoeg is, maar ook voldoet aan criteria voor comfort. Voor vloeren in utiliteitsgebouwen betekent dit vaak dat de eigenfrequentie boven een kritische grens moet liggen om voelbare trillingen door lopen te beperken. Vaak hanteert men een ondergrens van 8 Hz voor kantoorgroottes; daaronder is een gedetailleerde dynamische analyse verplicht.

SBR-richtlijnen zijn in Nederland de maatstaf voor het beoordelen van trillingen in de praktijk. Waar de wet zwijgt over specifieke amplitudes, spreken de richtlijnen boekdelen. SBR-richtlijn A richt zich op schade aan gebouwen, terwijl SBR-richtlijn B de hinder voor personen definieert. De eigenfrequentie van een constructie bepaalt in welke mate een externe trillingsbron — zoals een heistelling of passerende trein — wordt versterkt. Is er sprake van resonantie? Dan worden de grenswaarden uit de richtlijnen sneller overschreden. Voor trillingsgevoelige apparatuur in laboratoria of datacentra is SBR-richtlijn C de leidraad, waarbij de eigenfrequentie van de vloerconstructie extreem hoog moet zijn om verstoring van processen te voorkomen.

Norm/Richtlijn	Focusgebied
NEN-EN 1990	Basisontwerp en comforteisen (SLS)
NEN-EN 1991-1-4	Windbelasting en dynamische respons van slanke constructies
SBR Richtlijn A	Schade aan bouwwerken door trillingen
SBR Richtlijn B	Hinder voor personen in gebouwen

Bij bruggen en slanke masten is NEN-EN 1991-1-4 essentieel. Deze norm beschrijft hoe wind krachten uitoefent die kunnen samenvallen met de eigenfrequentie van de constructie. Vortex-excitatie of galopperen. De regelgeving dwingt de constructeur om aan te tonen dat deze verschijnselen zich niet voordoen binnen het gebruikelijke windbereik. Geen suggesties, maar harde rekenregels om scenario's zoals de Tacoma Narrows Bridge te voorkomen.

De beheersing van eigenfrequenties in de bouw is een relatief recent fenomeen. Pythagoras begreep de wiskunde achter trillende snaren al in de oudheid, maar voor de bouwmeester bleef dit eeuwenlang abstracte materie. Gebouwen waren zwaar. Massief metselwerk en dikke eiken balken boden zoveel natuurlijke demping en stijfheid dat dynamische instabiliteit simpelweg geen rol speelde. Statische draagkracht was de enige wet.

De omslag kwam met de Industriële Revolutie. Smeedijzer en later vloeistaal maakten constructies slanker. In de negentiende eeuw legden wiskundigen zoals Euler en Bernoulli de theoretische basis met hun balktheorieën, maar de praktijk liep pijnlijk achter de theorie aan. Spoorbruggen vormden het eerste echte slagveld. De enorme, pulserende lasten van stoomtreinen veroorzaakten trillingen die constructies deden bezwijken, zelfs als ze statisch sterk genoeg waren. Men leerde door schade en schande.

Het jaar 1940 markeert het definitieve kantelpunt voor de civiele techniek. De instorting van de Tacoma Narrows Bridge bewees dat windkracht, die voorheen als een constante druk werd berekend, een constructie in haar eigenfrequentie kon aanstoten. Aero-elastische instabiliteit werd een verplicht onderdeel van het curriculum. Na de Tweede Wereldoorlog versnelde de ontwikkeling door de luchtvaartindustrie. De methodieken om trillingen in vliegtuigvleugels te berekenen, vloeiden over naar de hoogbouw en bruggenbouw.

Digitalisering van de dynamica

Vóór de jaren zestig was het bepalen van de eigenfrequentie van een complex gebouw een monnikenwerk van handmatige matrixberekeningen. Vaak beperkte men zich tot grove benaderingen. De opkomst van de Eindige Elementen Methode (EEM) en de toenemende rekenkracht van computers veranderden alles. Ineens konden ingenieurs duizenden vrijheidsgraden tegelijkertijd analyseren. Waar men vroeger alleen de laagste grondfrequentie kon inschatten, brengt moderne software nu moeiteloos honderden harmonischen in kaart. Tegenwoordig is het monitoren van de eigenfrequentie — Structural Health Monitoring — een standaardmethode geworden om de conditie van verouderende kunstwerken te bewaken zonder destructief onderzoek.

• https://www.hightechalliance.nl/specialiteiten/ontwerpsimulaties-analyses/fem-analyse/
• https://nl.wikipedia.org/wiki/Harmonische